【数学】【PYTHON】行列の逆行列を求める。 | 自分、ぼっちですが何か？ (taki-lab.site)
5x + 3y = 9
2x + y = 4
という連立方程式があった場合、
行列を使って以下の様に書き換えることができます。
これを左辺の逆行列を掛け合わせると、
となり、これを計算することによって、解を求めることができます。
>>> import numpy as np
>>> A = np.matrix([[5, 3], [2, 1]])
>>> inv_A = np.linalg.inv(A)
>>> B = np.matrix([[9], [4]])
>>> inv_A * B
matrix([[ 3.],
[-2.]])
>>>【数学】【PYTHON】行列のかけ算を行う | 自分、ぼっちですが何か？ (taki-lab.site)
逆行列とは、元の行列にかけ算を行うと、単位行列にる行列のことです。
Pythonでは、linalg.inv()の関数を使用すると、一瞬で計算できます。
>>> import numpy as np
>>> A = np.matrix([[5, 3], [2, 1]])
>>> B = np.linalg.inv(A)
>>> B
matrix([[-1., 3.],
[ 2., -5.]])
で、試しにA×Bを計算して単位行列になるかどうかを計算してみたんですが、
>>> (A * B).astype(np.int64)
matrix([[1, 0],
[0, 0]])ん？
単位行列なら右下が1になるはずなんだが？
astype(np.int64)とは、inv()を計算すると、出力が浮動小数になるため、整数に変換する関数なんですが、
ちなみに、astype(np.int64)を取り除くと、
>>> (A * B)
matrix([[ 1.00000000e+00, -8.88178420e-16],
[ 2.22044605e-16, 1.00000000e+00]])e-16は小さい値なので、整数化するとほぼ0ですが、
右下はどうみても1ですね。
？？？
【数学】【PYTHON】行列の足し算・引き算を行う | 自分、ぼっちですが何か？ (taki-lab.site)
行列のかけ算もnumpyのmatrix()を使えば簡単にできます。
実数倍のかけ算
>>> import numpy as np
>>> A = np.matrix([[80, 140], [30, 25]])
>>> 0.8 * A
matrix([[ 64., 112.],
[ 24., 20.]])
これは単純に各要素を実数倍する計算結果。
行列同士のかけ算
>>> A = np.matrix([[1, 3], [2, 1]])
>>> B = np.matrix([[150, 250], [130, 230]])
>>> A * B
matrix([[540, 940],
[430, 730]])
行列同士のかけ算は、特殊な（めんどくさい）計算が必要になるのですが、
numpyを使えば簡単に計算してくれます。
【数学】【PYTHON】法線ベクトル（ベクトルの外積）を求める | 自分、ぼっちですが何か？ (taki-lab.site)
NumPyのmatrix()を使用すれば、行列も簡単に扱うことができるようになります。
たとえば、こんな行列の計算を行う場合、
>>> import numpy as np
>>> A = np.matrix([[50, 40],[10, 10]])
>>> B = np.matrix([[30, 100],[20, 15]])
>>> A+B
matrix([[ 80, 140],
[ 30, 25]])
法線ベクトルとは、2つのベクトルから計算されるベクトルで、
その向きは2つのベクトルの表現される面とは垂直のベクトルとなり、
その向きは「右ねじの法則」と呼ばれる法則によって決まります。
>>> import numpy as np
>>> a = np.array([0, 1, 2])
>>> b = np.array([2, 0, 0])
>>> np.cross(a, b)
array([ 0, 4, -2])
法線ベクトルの計算はcross()関数で求めることができます。
便利。
法線ベクトルはCGの世界では、法線ベクトルと光りのベクトルによって、
画面に表示する色や明るさなどを計算するのに使用されます。
この公式で求めることができます。
このケースを解いてみると、
>>> import math
>>> import numpy as np
>>> a = np.array([2,7])
>>> b = np.array([6,1])
>>> c = np.array([2,3])
>>> d = np.array([6,5])
>>>
>>> va = b - a
>>> vb = d - c
>>>
>>> norm_a = np.linalg.norm(va)
>>> norm_b = np.linalg.norm(vb)
>>>
>>> dot_ab = np.dot(va, vb)
>>>
>>> cos_th = dot_ab / (norm_a * norm_b)
>>> rad = math.acos(cos_th)
>>> deg = math.degrees(rad)
>>> print(deg)
82.8749836510982
>>>変数a,b,c,dは各座標の値を示しています。
va,vbはベクトルの成分を計算しています。
引き算で計算できるのは便利。
np.linalg.norm()でベクトルの大きさを求めています。
ベクトルの各成分を2乗した和の平方根を計算してくれます。
np.dot()はベクトルの内積を求めています。
cos_thには上の公式を使用した計算結果が入ります。
これをcosの逆関数を計算し、ラジアンを角度に変換すると、
およそ83度という計算結果となります。
2ヶ月開いてしまった・・・
ぼちぼち再開していきます。
ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから面積を求める公式です。
三角形の三辺の長さをそれぞれa,b,cとすると、計算式は以下になります。
import math
x = [1, 3, 6]
y = [5, 1, 4]
a = math.sqrt((x[1] - x[0])**2 + (y[1] - y[0])**2)
b = math.sqrt((x[2] - x[1])**2 + (y[2] - y[1])**2)
c = math.sqrt((x[2] - x[0])**2 + (y[2] - y[0])**2)
s = (a + b + c) / 2
ans = math.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
print(ans)
$ python3 heron_area.py
8.999999999999996A(1,5),B(3,1),C(6,4)、a=辺AB,b=辺BC,c=辺ACとすると、
面積はおよそ9となります。
点(x1, y1)と直線ax+by+c=0の距離を求める公式は、
で求められます。
数式をWordで書くのめんどくさ。
点(1,6)から直線y=3/4x-1を計算する処理です。
分数を取り払って3x-4y-1=0に変換してます。
>>> import math
>>> x = 1
>>> y = 6
>>> a = 3
>>> b = -4
>>> c = -4
>>> math.fabs(a*x + b*y + c) / math.sqrt(a**2 + b**2)
5.0